음악에 숨어 있는 수학에 관한 책이다. 귀의 해부학에서 시작해 음향학, 음계의 역사와 원리, 디지털 음악, 무조음악을 모두 수학적으로 상세하게 설명한다. 음악의 가장 기본은 우리가 실제로 소리를 듣는 방식이므로 이 책은 인간 귀의 구조와 푸리에 분석 사이의 관계로 시작해서 이것을 악기의 수학과 결합해 협음과 불협음에 대한 이해 그리고 음계의 발달과 평균율을 유도한다. 뒷부분에서 조금 색다른, 음악에서의 대칭과 현대 음악에서 사용하는 소리를 생성하고 분석하는 디지털 기술에 대해서 소개한다. 아날로그 음악, 디지털 음악 그리고 그 중간에 대해 알고 싶다면 이 책을 읽어보자.

1장. 파동과 배음

1.1 소리란 무엇인가?
1.2 인간의 귀
1.3 귀의 한계
1.4 왜 사인파인가?
1.5 조화 운동
1.6 진동하는 현
1.7 사인파와 주파수 스펙트럼
1.8 삼각함수의 관계식과 맥놀이
1.9 중첩
1.10 감쇠 조화 운동
1.11 공명

2장. 푸리에 이론

2.1 들어가며
2.2 푸리에 계수
2.3 우함수와 기함수
2.4 수렴 조건
2.5 깁스 현상
2.6 복소수 계수
2.7 페예르 정리의 증명
2.8 베셀 함수
2.9 베셀 함수의 성질
2.10 베셀 방정식과 멱급수
2.11 FM 피드백과 행성 운동의 푸리에 급수
2.12 펄스 스트림
2.13 푸리에 변환
2.14 역변환 공식의 증명
2.15 스펙트럼
2.16 푸아송의 합 공식
2.17 디랙 델타 함수
2.18 합성곱
2.19 켑스트럼
2.20 힐베르트 변환과 순간 주파수

3장. 관현악단을 위한 수학

3.1 들어가며
3.2 현에서 파동 방정식
3.3 초기 조건
3.4 활로 켜는 현
3.5 관악기
3.6 드럼
3.7 라플라스 연산자의 고윳값
3.8 호른
3.9 실로폰과 관 모양의 벨
3.10 엠비라
3.11 징
3.12 종
3.13 음향학

4장. 협음과 불협음

4.1 배음
4.2 단순 정수 비율
4.3 협음과 불협음의 역사
4.4 임계 대역폭
4.5 복잡한 음
4.6 인공 스펙트럼
4.7 결합음
4.8 음악적 역설

5장. 음계와 음률: 다섯 가지 방법

5.1 들어가며
5.2 피타고라스 음계
5.3 오도권
5.4 센트
5.5 순정률
5.6 장조와 단조
5.7 딸림7화음
5.8 콤마와 시스마
5.9 에이츠의 표기법
5.10 다양한 순정률 음계
5.11 고전 화성
5.12 가온음률
5.13 불규칙 음률
5.14 평균율
5.15 역사에 관하여

6장. 또 다른 음계

6.1 해리 파트치의 43음과 다른 순정 음계
6.2 연분수
6.3 53음계
6.4 다른 평균율
6.5 31음계
6.6 웬디 카를로스의 음계
6.7 볼렌 - 피어스 음계
6.8 동음 벡터와 주기성 블록
6.9 셉티멀 화성

7장. 디지털 음악

7.1 디지털 신호
7.2 디더링
7.3 WAV와 MP3 파일
7.4 미디
7.5 델타 함수와 샘플링
7.6 나이퀴스트 정리
7.7 z 변환
7.8 디지털 필터
7.9 이산 푸리에 변환
7.10 고속 푸리에 변환

8장. 합성

8.1 들어가며
8.2 포락선과 LFO
8.3 가산 합성
8.4 물리적 모델링
8.5 카르플루스 - 스트롱 알고리듬
8.6 카르풀루스 - 스트롱 알고리듬에 대한 필터 해석
8.7 진폭 변조와 주파수 변조
8.8 야마하 DX7와 FM 합성
8.9 피드백 또는 자기 변조
8.10 CSound
8.11 CSound를 이용한 FM 합성
8.12 간단한 FM 악기
8.13 CSound의 기타
8.14 기타 합성 방법
8.15 위상 보코더
8.16 체비쇼프 다항식

9장. 음악의 대칭

9.1 대칭
9.2 은자카라의 하프
9.3 집합과 군
9.4 종소리 바꾸기
9.5 케일리의 정리
9.6 시계 산술과 옥타브 등가
9.7 생성자
9.8 음렬
9.9 데카르트곱
9.10 이면체군
9.11 궤도와 잉여류
9.12 정규 부분군과 몫군
9.13 번사이드의 보조정리
9.14 음높이 등급 집합
9.15 포여의 열거 정리
9.16 마티외 군 M12

부록 A. 베셀 함수
부록 B. 평균율
부록 C. 주파수와 MIDI 차트
부록 D. 음정
부록 E. 순정률, 평균율, 가온음률의 비교
부록 F. 음악 이론
부록 G. 녹음

데이브 벤슨 , 추정호

지은이의 말

이 책을 쓰는 데 오랜 시간이 걸렸다. 수학과 음악 사이의 관계에 대한 관심은 1990년대 초반에 구입한 중고 신시사이저에서 시작됐다. 이것은 간단한 주파수 변조 모델을 사용해 소리를 생성하지만 결과는 흥미롭고 복잡해 나는 완전히 매료될 수밖에 없었다. 작동 원리를 이해하기 위해서 소리의 본질과 음악과 수학의 관계를 연구하게 됐고, 이는 매우 긴 여정이 됐다.

많은 자료를 수집했으며, 이를 주제로 하는 강의를 개설하기로 했다. 결국 2000년과 2001년에는 수학과 학부 수업을, 2003년에 신입생 세미나를 열었다. 학생들의 반응은 흥미로웠다. 많은 학생이 특정 주제에는 관심을 보였으나 다른 주제에는 다소 무관심했다. 그러나 각 학생들이 흥미를 가지는 주제는 저마다 달랐다.

이를 염두에 두고 각각의 부분은 어느 정도 독립적으로 읽을 수 있도록 구성했다. 허나 논쟁의 여지가 있는 부분은 있다. 이는 시작 부분에서 설명할 것이다. 순서대로 읽지 않아도 괜찮으나 최소한 시작 부분의 ‘들어가며’는 읽어보는 것을 추천한다.

책의 수학적 수준은 매우 다양하다. 그래서 읽기에 부담스럽다고 느끼면 건너뛰어도 좋다. 또한 학부 과정의 교과서로 사용할 수 있도록 책을 구성했다. 따라서 다양한 난이도의 연습 문제를 제시했고 온라인 버전의 부록에 답의 개요가 있다.

옮긴이의 말

청소년 시절에는 음악에 별 관심 없었다. 그 후에도 아무런 상관없이 지내다가 40대 중반에 불현듯 동네에 있는 조금 큰 피아노 학원에 갔다. 집에서 가까워서 찾아간 이 학원은 서울에서 유명한 대입 전문 학원이었고 레슨을 맡아 주신 선생님은 연주학 박사 학위를 가지신 분이었다. 문제는 초등학생보다 못한 내 음악 감성과 굳은 손가락에 있었다. 연습을 해도 별로 진전이 없었다. 다행히 계속 음악에 노출되다 보니 음악에 대한 관심은 높아졌다. 그러다가 우연히 동네 도서관에서 알게 된 대니얼 J. 레비틴의 『뇌의 왈츠』(마티, 2008)을 읽은 후에 음악을 새롭게 생각하게 되었다.

미국 MIT대학교 교수인 스티븐 핑커는 『마음은 어떻게 작동하는가』(동녘, 2007)에서 음악은 “청각적 치즈케이크”에 불과하다는 주장을 했다. 비유를 하자면 안경을 걸기 위해서 코가 진화 적응한 것이 아니라 진화의 부산물이라는 것이다. 이런 주장에 반대하면서 레비틴은 인류 생존을 위해서 음악이 필요했다는 증거들을 뇌과학, 진화생물학 등 다양한 분야에서 제시했다.

개인적인 생각으로는 음악은 진화 적응인 것 같지만 본인이 전공했던 수학은 진화의 부산물인 것 같다. 수학은 역사적으로 동양보다 서양이 더 발달했고, 시험을 준비하는 학생들만 관심을 갖는다. 이렇게 음악과 수학은 뚜렷한 차이가 있지만, 그럼에도 피타고라스, 아인슈타인, 하이젠베르크, 파인만 등과 같이 음악에도 능통한 유명한 수학자와 과학자들이 많다. 분명히 음악과 수학에는 공통점이 있는 것 같다.

호프스태더의 『괴델, 에셔, 바흐』(까치, 2017)은 (미술까지 포함한) 이런 공통점에 대해 자세히 설명한다. 무한을 다루는 수학, 무한히 상승할 수 있는 2차원 계단, 영원히 반복되는 캐넌을 생각하면 공통점이 느껴진다. 특히, 바흐의 “그랩 캐넌”을 “뫼비우스 띠”를 이용해 시각화한 유명한 유튜브 영상을 보면 말로 표현하기 어렵지만 음악과 수학의 공통점을 알 수 있다.

호프스태더가 언급한 바흐의 작품집은 “Musical offering”이다. 독일의 피아노 산업을 장려했던 프리드리히 대왕이 바흐를 궁중으로 초청해 소장하고 있던 여러 대의 피아노를 보여주었다. 바흐는 이에 대한 답례로 각각의 피아노에서 즉흥 연주를 했고 집에 돌아간 후에 연주한 곡을 정리해서 대왕에게 헌정하는 작품집에 이 제목을 사용했다.

인터넷에서 이 책의 원서를 처음 본 순간, 『Musical offering』을 패러디한 책 제목부터 심상치 않은 내공이 느껴졌다. 이 책은 기대를 저버리지 않았다. 귀의 해부학에서 시작해 음향학, 음계의 역사와 원리, 디지털 음악, 무조음악을 모두 수학적 관점에서 상세하게 설명하고 있다. 가히 “Mathematical offering”이라 할 만하다